domingo, 11 de marzo de 2012

Teorema de Dandelin

Teorema de Dandelin - GeoGebra Hoja Dinámica

En la figura observamos un alzado de un cono en color azul con dos esferas tangentes inscritas en el mismo, ambas en color verde. Existe un plano tangente en color magenta a las dos esferas cuya sección del cono es una elipse, esta curva se ha girado para que se pueda ver en su verdadera forma, es como una sección abatida.
 Esta sección elíptica  es tangente a las esferas en 2 puntos que son los focos, si el plano de corte magenta fuera paralelo a una de las generatrices del cono, la curva sección sería una parábola mientras que si el plano de corte generado en el  cono  fuera paralelo a 2 generatrices tendríamos una hipérbola.
Los extremos de la elipse o puntos de corte del plano con contorno del cono según se ven en el perfil o alzado de la figura son en realidad los vértices de la elipse (M). Si movemos el vértice del cono C podemos observar como varía la distancia entre los focos y vértices de la elipse. En el momento en que las dos esferas son tangentes entre sí, los dos focos de la elipse LK se transforman en un único foco que es el centro de la circunferencia tangente a las dos esferas.



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Teorema de Dandelin




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Teorema de Dandelin

Existen 1 o 2 esferas tangentes interiores a un cono y a un plano de sección. Este plano determina los focos de las cónicas en los puntos de tangencia con las esferas.
Los planos que definen la intersección de las esferas con el cono (2 circunferencias) y el plano de la cónica determina las directrices de la misma.
















En este perfil observamos 2 esferas (en rosa y amarillo) con un plano p tangente a ambas. Este plano p que secciona al cono según la elipse azul m de eje mayor TY (extremos de la sección del cono). La intersección de p y los planos donde las esferas son tangentes al cono: j, k, son 2 rectas paralelas al eje menor.
El plano p lo proyectamos y abatimos para obtener en verdadera forma la elipse. El eje mayor TY de la elipse se transforma al proyectarla en T’Y’, el centro de la elipse es el punto medio O’ por ser una curva simétrica respecto a los dos ejes principales. Los focos son los puntos de tangencia DF de las esferas con el plano p proyectados sobre la elipse: D’F’. Para obtener el semieje menor de la elipse LO se hace un plano e por O perpendicular al eje del cono en cuya sección abatida lo observamos en verdadera magnitud. A continuación lo colocamos sobre la elipse azul ortogonal a T’Y’ y a partir del centro de la elipse: L’O’.















El caso de la parábola.

Observamos en el dibujo una esfera tangente a la sección parabólica del cono en el foco de la parábola. El eje de la parábola e pasa por el punto de tangencia de la esfera con el plano de sección y corta al plano donde el cono y la esfera son tangentes, esto es, el plano que pasa por la recta M.
Los dos planos -el que secciona el cono y el de contacto entre la esfera y el cono- pasan por las dos rectas e m, respectivamente, y se cortan en una recta d y que es la directriz de la parábola.
El teorema de Dandelin nos determina con facilidad el foco de una sección del cono. La solución a los ejercicios para la determinación de los focos de las cónicas consiste en hacer una esfera tangente a la sección y al cono y el punto de contacto de la esfera con la sección cónica es un foco de la cónica.
















En este dibujo observamos en un perfil el cono separado en dos trozos por un corte, con la esfera tangente al plano de sección en el punto a.
Observamos también que el plano m -azul- que es el plano que pasa por donde el cono y la esfera son tangentes, corta al plano de sección del cono en la recta d, que es la directriz que la parábola.










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